ಗಣಿತಾನಂದ ಡಿ ಆರ್ ಕಾಪ್ರೆಕರ್

ಗಣಿತಾನಂದ ಡಿ ಆರ್ ಕಾಪ್ರೆಕರ್

ಲೇಖಕರು : ಸುರೇಶ ಸಂಕೃತಿ

ಗಣಿತ, ವಿಜ್ಞಾನ ಬೋಧಕರು,

ನಂದಾಶ್ರೀ ಹತ್ತಿರ, ಹೊಸಕೋಟೆ

ಬೆಂಗಳೂರು ಗ್ರಾಮಾಂತರ ಜಿಲ್ಲೆ

ಗಣಿತ ಲೋಕಕ್ಕೆ ಪ್ರಮುಖ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದವರಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಭಾರತೀಯರೂ ಇದ್ದಾರೆ. ಅಂಥ ಬಹಳಷ್ಟು ಮಂದಿ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಸಿದ್ಧಿ, ಗೌರವ  ಪಡೆಯದೆ ತೆರೆ ಮರೆಯಲ್ಲೇ ಉಳಿದು ಹೋಗಿದ್ದಾರೆ. ಅಂಥ ಮೇಧಾವಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರಾಗಿದ್ದ ಡಿ.ಆರ್.ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ಅವರ ಪರಿಚಯವನ್ನು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟಿಕೊಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ, ಶಿಕ್ಷಕ ಶ್ರೀ ಸುರೇಶ್‌ ಸಂಕೃತಿ ಅವರು.

6174 - ಈ ನಾಲ್ಕು ಅಂಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದರಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು  ಇಳಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆದರೆ 7641ಆಗುತ್ತದೆ.  ಏರಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆದರೆ 1467 ಆಗುತ್ತದೆ.  ಈಗ  7641 ರಲ್ಲಿ  1467 ನ್ನು ಕಳೆದರೆ ಏಷ್ಟು ಬರುತ್ತದೆ?

7641- 1467 =  6174

6174, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. 

ಯಾವುದೇ ಅಂಕೆ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಲ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಆಗದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಅಂಕೆಗಳಿರುವ  ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಉದಾಹರಣೆಗೆ 1729. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಅಂಕೆಗಳನ್ನುಮೊದಲಿಗೆ ಇಳಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ 9721 ಬರುತ್ತದೆ.   ನಂತರ ಅದೇ ಅಂಕೆಗಳನ್ನುಏರಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ 1279 ಬರುತ್ತದೆ. ಈಗ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ  9721ರಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆ 1279 ನ್ನು ಕಳೆದಾಗ 8442 ಬರುತ್ತದೆ  ಇದನ್ನು  ಹೀಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮುಂದುವರೆಸಿದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಎಂದರೆ ಏಳು ಹಂತಗಳ ಕೊನೆಗೆ ಬರುವ ಉತ್ತರ 6174 ಆಗಿರುತ್ತದೆ :

 

ಉದಾಹರಣೆ: 1729

9721- 1279 = 8442

8442- 2448 = 5994

9954- 4599 = 5355

5553- 3555 = 1998

9981- 1899 = 8082

8820- 0288 = 8532

8532- 2358 = 6174

ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ಆಲ್ಗಾರಿಧಂ (ಕ್ರಮ ವಿಧಾನ)   ದಶಮಾಂಶ ಪದ್ಧತಿಯಲ್ಲಿನ ಮೂರು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕಂಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯವಾಗುತ್ತದೆ.   ಉಳಿದವಕ್ಕೆ ಈ ಆಲ್ಗಾರಿಧಂ ಅನ್ವಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಾಲ್ಕು ಅಂಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕ 6174  ಇರುವಂತೆಯೇ ಮೂರಂಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕ  495 ಇದೆ .   ಮ್ಯಾಜಿಕ್‌ ನಂಬರ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ 6174 ಮತ್ತು 495 ಈ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿದವರು ದತ್ತಾತ್ರೇಯ ರಾಮಚಂದ್ರ  ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌. ಆದ್ದರಿಂದ ಇವುಗಳನ್ನು ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಈ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಸಂಶೋಧನೆಯನ್ನು 1939ರಲ್ಲಿ ಶ್ರೀ ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ರವರು ಮೊಟ್ಟ ಮೊದಲಿಗೆ ಮದ್ರಾಸಿನಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವಜನಿಕವಾಗಿ ಪ್ರಕಟಪಡಿಸಿದರು.

ದತ್ತಾತ್ರೇಯ ರಾಮಚಂದ್ರ  ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ಜನಿಸಿದ್ದು 17ರ  ಜನವರಿ 1905 ರಂದು, ಮಹಾರಾಷ್ಟ್ರದಲ್ಲಿ ಕೊಂಕಣದ ವಿಭಾಗದ ಪಾಲ್ಘಾರ್‌ ಜಿಲ್ಲೆಯ ದಹಾನು ಎಂಬ ಕರಾವಳಿಯ ಒಂದು ಪುಟ್ಟ ಪಟ್ಟಣದಲ್ಲಿ. ಎಂಟು ವರ್ಷದ ಬಾಲಕನಾಗಿರುವಾಗಲೇ ತಾಯಿಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡ  ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ತಮ್ಮ ತಂದೆಯ ಲಾಲನೆ ಪಾಲನೆಯಲ್ಲಿಯೇ ಬೆಳದರು. ಅವರ ತಂದ  ಜೀವನೋಪಾಯಕ್ಕಾಗಿ ಗುಮಾಸ್ತರ ಹುದ್ದೆಯಲ್ಲಿದ್ದರೂ ಅವರಿಗೆ ಜ್ಯೋತಿರ್ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಆಸಕ್ತಿ.  ತಮ್ಮ ಬಿಡುವಿನ ವೇಳೆಯಲ್ಲಿ  ಅಂಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಮುಳುಗಿರುತ್ತಿದ್ದ ತಂದೆ ರಾಮಚಂದ್ರರ ಆಸಕ್ತಿಯು ಬಾಲಕ ದತ್ತಾತ್ರೇಯರ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಿತ್ತು. ಹೀಗಾಗಿ ಚಿಕ್ಕ ವಯಸ್ಸಿನಿಂದ ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ದತ್ತಾತ್ರೇಯರೂ ಆಸಕ್ತಿ ಬೆಳೆಸಿಕೊಂಡರು.  ಅವರ ಸೆಕೆಂಡರಿ ವಿದ್ಯಾಭ್ಯಾಸವನ್ನು ಠಾಣೆ ಮತ್ತು ಮುಂಬಯಿಗಳಲ್ಲಿ ಮುಗಿಸಿ, ಮುಂದಿನ ವಿದ್ಯಾಭ್ಯಾಸವನ್ನು ಪುಣೆಯ ಫರ್ಗುಸನ್‌ ಕಾಲೇಜಿನಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರೆಸಿದರು. ಇಲ್ಲಿರುವಾಗಲೇ 1927ರಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಗಣಿತದ ಹೊಸ ಸಂಶೋಧನೆಯೊಂದಕ್ಕೆ ಆರ್‌ ಪಿ ಪರಾಂಜಪೆಯವರ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತಿದ್ದ ಬಹುಮಾನವನ್ನೂ ಗೆದ್ದುಕೊಂಡರು.   ಮುಂಬಯಿ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಿಂದ ತಮ್ಮ ಬಿ.ಎಸ್ಸಿ.,  ಪದವಿ ಪಡೆದರಾದರೂ ಸ್ನಾತಕ ಪದವಿ ಪಡೆಯಲಾಗಲಿಲ್ಲ. 

ದತ್ತಾತ್ರೇಯ ರಾಮಚಂದ್ರ ಕಾಪ್ರೆಕರ್ 1929 ರಲ್ಲಿ ನಾಸಿಕದ ಬಳಿಯ ದೇವಲಾಲಿಯಲ್ಲಿ ಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಕರಾಗಿ ನೇಮಕವಾಗಿ 1962 ರಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ 58ನೇ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ನಿವೃತ್ತರಾಗುವವರೆಗೂ  ಅಲ್ಲಿಯೇ ಕರ್ತವ್ಯ  ನಿರ್ವಹಿಸಿದರು.  ಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಕರಾಗಿ ಬೋಧಿಸುತ್ತಿರುವಾಗ ಅವರನ್ನು ಅನೇಕ ಶಾಲಾ ಕಾಲೇಜುಗಳಲ್ಲಿ ವಿನೋದ ಗಣಿತ ಕುರಿತು ಉಪನ್ಯಾಸ ನೀಡಲು ಆಸಕ್ತರು ಆಹ್ವಾನಿಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಹೀಗಾಗಿ, ಗಣಿತಾಸಕ್ತ  ಭೌದಿಕ ವಲಯದಲ್ಲಿ ಅವರು  ಗಣಿತಾನಂದರೆಂದೇ ಪ್ರಖ್ಯಾತರಾಗಿದ್ದರು.  ನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಗಣಿತದ ತಮ್ಮ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯ ಪತ್ರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಅಲ್ಲದೇ ಕರಪತ್ರಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ   ಪ್ರಕಟಿಸುತ್ತಿದ್ದರು .  ಇವರ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು  ಅಪಹಾಸ್ಯ ಮಾಡಿ ನಕ್ಕವರು ಆಗ  ಬಹಳಷ್ಟು ಮಂದಿ ಇದ್ದರಂತೆ!  ಸೈಂಟಿಫಿಕ್‌ ಅಮೇರಿಕನ್‌ ವಿಜ್ಞಾನ ಮಾಸ ಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಟಿನ್‌ ಗಾರ್ಡನರ್‌ ಎಂಬವರು ಸತತವಾಗಿ ಇಪ್ಪತೈದು ವರ್ಷಗಳಿಗೂ ಮೀರಿ ವಿನೋದ ಗಣಿತದ ಅಂಕಣವನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ಕುತೋಹಲಭರಿತವಾಗಿ ಬರೆದು ಪ್ರಕಟಿಸುತ್ತಿದ್ದರು.  ಇವರು ಕಾರ್ಪೆಕರ್‌ ಮತ್ತು ಅವರ ಸಂಶೋಧನೆಗಳ ಕುರಿತ ಒಂದು ಲೇಖನವನ್ನು ಬರೆದು ‌ ಮಾರ್ಚಿ 1975ರ ಸೈಂಟಿಫಿಕ್‌ ಅಮೇರಿಕನ್‌ ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಈ ಬರಹದ ಕಾರಣದಿಂದ  ದತ್ತಾತ್ರೇಯ ರಾಮಚಂದ್ರ ಕಾಪ್ರೆಕರ್ ವಿಶ್ವದಾದ್ಯಂತ ಗಣಿತ ಲೋಕಕ್ಕೆ ಪರಿಚಯವಾದರು. ಅವರ ಸಂಶೋಧನೆಗಳ ಕಡೆಗೆ  ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಆಕರ್ಷಿತರಾಗಲು ಇದೇ ಲೇಖನ ಕಾರಣವಾಯಿತು.

ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು   ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವುದರ ಜೊತೆಗೆ ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೂ ಅವರು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು.  ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ಸಂಖ್ಯೆಯು  ಒಂದು  ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ವರ್ಗದಲ್ಲಿನ ಅಂಕೆಗಳ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳ  ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಪೂರ್ಣವರ್ಗ  ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿರುವ  ಅಂಕೆಗಳ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳ  ಮೊತ್ತವು  ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಮೂಲವನ್ನು ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.  ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 9ರ ವರ್ಗ 81 ಆಗಿದೆ. 81ರಲ್ಲಿನ ಅಂಕೆಗಳಾದ 8 ಮತ್ತು 1ನ್ನುಕೂಡಿದಾಗ ಅದರ ವರ್ಗಮೂಲ 9 ಬರುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ  9 ಒಂದು ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಹೀಗಿವೆ :

9² = 81                          8 + 1 = 9

45² = 2025                  20 + 25 = 45

55² = 3025                  30 + 25 = 55 

ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ಸ್ವಯಂಭೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು  

ಉದಾಹರಣೆಗೆ 16ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.  16ರಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿದಾಗ ಬರುವ ಮೊತ್ತ 7ನ್ನು  16 ಕ್ಕೆ ಕೂಡಿದರೆ  23 ಬರುತ್ತದೆ. 23 ರಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿದಾಗ  ಬರುವ 5  ನ್ನು 23 ಕ್ಕೆ ಕೂಡಿದರೆ  28  ಬರುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು  ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕೂಡಿದಾಗ  ಬರುವ  ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು.

16, 23, 28, 38, 49, 62, 70, ...

ಮೇಲಿನ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ 20ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇದರ ಹಿಂದಿನ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕೂಡಿದರೂ 20 ಬರುವುದಿಲ್ಲ ಅದ್ದರಿಂದ 20 ಒಂದು ಸ್ವಯಂಭೂ ಸಂಖ್ಯೆ.

11 +(1+1) = 13

12  +(1+2) = 15

13  +(1+3)  = 17

14 + (1+4)= 19

?? +  (?+?) = 20

15 +(1+5) = 21

16 +(1+6)=23

ಈ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇವು ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ರವರು ಕಂಡು ಹಿಡಿದ  ಸ್ವಯಂಭೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 108, 110, 121…

ಹರ್ಷದ್‌ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ರವರ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಂಶೋಧನೆಯೇ ಹರ್ಷದ್‌ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.  ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಭಾಗವಾಗುವಂತಿದ್ದರೆ, ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹರ್ಷದ್‌ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 12 ಇದು ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾದ 1+2=3 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ 12 ಒಂದು ಹರ್ಷದ್‌ ಸಂಖ್ಯೆ.

ದುರಂತವೆಂದರೆ ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ತಮ್ಮ ಬಿಡುವಿನ ಬಹುತೇಕ ಸಮಯವನ್ನು ಅಂಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿ ಗಣಿತಕ್ಕೆ ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಅಮೂಲ್ಯ ಕೊಡುಗೆ ಸಲ್ಲಿಸಿದರೂ ಅವರಿಗೆ ನ್ಯಾಯವಾಗಿ ಸಲ್ಲಬೇಕಾದ ಗೌರವ,  ಕೀರ್ತಿಗಳು  ಹಾಗೂ ಆರ್ಥಿಕ ಸಹಾಯಗಳು ದೊರೆಯಲೇ ಇಲ್ಲ.  1966ರಲ್ಲಿ ಅವರ ಮಡದಿಯೂ ತೀರಿಹೋದರು.  ಅವರ ನಿವೃತ್ತಿಯ ನಂತರ ಅವರಿಗೆ ಬರುತ್ತಿದ್ದ ಅಲ್ಪ ಸ್ವಲ್ಪ  ನಿವೃತ್ತಿ ವೇತನದಲ್ಲಿ ಜೀವನ ನಡೆಸಲು ಕಷ್ಟವಾಗಿ ಖಾಸಗಿ ಟ್ಯೂಷನ್ ಮಾಡಿ ಆದಾಯ ಖರ್ಚುಗಳನ್ನು ಸರಿದೂಗಿಸಲು ಅವರು ಕೊನೆಗಾಲದವರೆಗೂ ಹೆಣಗಬೇಕಾಯಿತು. 1986ರಲ್ಲಿ ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ಇಹಲೋಕದ  ಲೆಕ್ಕವನ್ನು ಮುಗಿಸಿ ಸ್ವರ್ಗಸ್ಥರಾದರು. ಮಾರ್ಟಿನ್‌ ಗಾರ್ಡನರ್‌  1975ರ ಸೈಂಟಿಫಿಕ್‌ ಅಮೇರಿಕನ್‌ ಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಲೇಖನ ಪ್ರಕಟಿಸದೇ ಹೋಗಿದ್ದರೆ  ದತ್ತಾತ್ರೇಯ ರಾಮಚಂದ್ರ ಕಾಪ್ರೆಕರ್‌ ಬಹುಶಃ ಇಂದಿಗೂ ಅಪರಿಚಿತರಾಗಿಯೇ ಉಳಿದು ಬಿಡುತ್ತಿದ್ದರೇನೋ?

(ವಿ.ಸೂ: 1729  ಇದು ರಾಮಾನುಜಂ ಸ್ಥಿರಾಂಕ)