ಈ ಬ್ಲಾಗ್‌ಗೆ ಭೇಟಿ ನೀಡಿದ್ದಕ್ಕಾಗಿ ಧನ್ಯವಾದಗಳು. ಅನಿಸಿಕೆ ತಿಳಿಸಿ ಹಾಗೂ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಭೇಟಿ ಕೊಡಿ.

Sunday, April 4, 2021

ನಿಸರ್ಗದೆಲ್ಲೆಡೆ ಇದೆ ಈ ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತ !

 ನಿಸರ್ಗದೆಲ್ಲೆಡೆ ಇದೆ ಈ ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತ !

ಡಾ. ಟಿ.ಎ.ಬಾಲಕೃಷ್ಣ ಅಡಿಗ 

ನಿವೃತ್ತ ಪ್ರಾಂಶುಪಾಲರು ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನ ಸಂವಹನಕಾರರು








ನೀವು ಎಂದಾದರೂ ಹೂವಿನ ದಳಗಳ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಆಸಕ್ತಿಯಿಂದ ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಾ? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೂರ್ಯಕಾಂತಿ ಹೂವಿನ ಒಳಗೆ ಹುದುಗಿರುವ ಬೀಜಗಳ ಚಿತ್ತಾರದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷವನ್ನೇನಾದರೂ ಕಂಡಿದ್ದೀರಾ? ಜೇನುಗೂಡಿನಲ್ಲಿನ ರಚನೆಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನೇನಾದರೂ ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಾ? ಮೃದ್ವಂಗಿಗಳ ಚಿಪ್ಪಿನಲ್ಲಿ ಏನಾದರೂ ವಿಶೇಷತೆ ಇದೆ ಎಂದೆನಿಸಿದೆಯೇ? ಯಾವಾಗಲಾದರೂ ಒಮ್ಮೆ ಒಂದು ಬಹು ಮಹಡಿ ಕಟ್ಟಡದ ಕೊನೆಯ ಅಂತಸ್ತಿನ ತಾರಸಿಯಲ್ಲಿ ನಿಂತು ಅಲ್ಲಿಂದ ಕೆಳಗೆ ಕಾಣುವ ಎತ್ತರದ ಮರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಬೆಗಳ ಜೋಡಣೆಯ ಚಿತ್ತಾರವನ್ನು ಗಮನವಿಟ್ಟು ನೋಡಿದ್ದೀರಾ? ಇದೆಲ್ಲಾ ಇರಲಿ, ಎಂದಾದರೂ ನಿಮ್ಮ ಅಂಗೈಯನ್ನು ಕಣ್ಣಲ್ಲಿ ಕಣ್ಣಿಟ್ಟು ನೋಡಿದ್ದೀರಾ?

ನಿಸರ್ಗ ಅಚ್ಚರಿ, ಅದ್ಭುತಗಳ ಆಗರ. ಅಲ್ಲಿರುವ ಗಿಡ ಮರಗಳಲ್ಲಾಗಲೀ, ಪ್ರಾಣಿ ಪಕ್ಷಿಗಳಲ್ಲಾಗಲೀ ವಿವಿಧ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಾಗಲೀ ಕಂಡುಬರುವ ಅಚ್ಚುಕಟ್ಟುತನ ಬೆರಗುಗೊಳಿಸುವಂಥದ್ದು ! ನಿಸರ್ಗದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಅಡ್ಡಾದಿಡ್ಡಿಯಲ್ಲ. ಎಲ್ಲದರಲ್ಲಿಯೂ ಅಚ್ಚುಕಟ್ಟಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ರೆಂಬೆಯಲ್ಲಿ ಎಲೆಗಳ ಅಥವಾ ಹೂವಿನಲ್ಲಿ ದಳಗಳ ಜೋಡಣೆಯಿರಬಹುದು, ಬೀಜಗಳ ಚಿತ್ತಾರವಿರಬಹುದು, ಎಲ್ಲದರಲ್ಲಿಯೂ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಣಿತದ ವಿನ್ಯಾಸವಿದೆ. ಅಷ್ಟೇ ಏಕೆ? ಮನುಷ್ಯನ ದೇಹರಚನೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಒಂದು ಅದ್ಭುತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವಿದೆ ! ಇದನ್ನು ನೋಡಿಯೇ “ಈ ವಿಶ್ವದಲ್ಲಿ ದೇವರು ಬರೆಯಲು ಬಳಸಿದ ಭಾಷೆಯೇ ಗಣಿತ” ಎಂದು ಖ್ಯಾತ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಗೆಲಿಲಿಯೋ ಗೆಲಿಲಿ ಹೇಳಿರಬಹುದು !

ನಿಸರ್ಗದಲ್ಲಿ ನೋಡಬಹುದಾದ ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಗಣಿತಜ್ಞರು “ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತ” ( ‘Golden Ratio
’) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ನಿಸರ್ಗದಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಸುತ್ತ ಮುತ್ತವೇ ಇರುವ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡು ಬರುವ ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ತಿಳಿಯಲು ಯವುದೇ ವಿಶಿಷ್ಟ ಜ್ಞಾನ ಶಾಖೆಯ ಅವಶ್ಯಕತೆ ಬೇಡ. ಕೇವಲ, ಕಲ್ಪನಾ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ರಸಾಸ್ವಾದನೆಯ ಸಹೃದಯತೆ ಇದ್ದರೆ ಸಾಕು ! ಈ ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತದ ಮೌಲ್ಯ ಹೀಗಿದೆ : ೧.೬೧೮೦೩೩೯೮೮೭೪೯೮೭೫ ಇದಕ್ಕೆ ಗ್ರೀಕ್ ಭಾಷೆಯ ಫೈ (φ) ಎನ್ನುವ ಸಂಕೇತ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ಫಿಬೋನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯಾ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೂ (Fibonacci number series) ನೇರ ಸಂಬಂಧವಿದೆ ! ಇದನ್ನು ಅರ್ಥ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಫಿಬೋನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯಾ ಅನುಕ್ರಮದ ಬಗ್ಗೆ ಕೊಂಚ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.
ಫಿಬೋನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯಾ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಸೂಚಿಸಿದವನು ಫಿಬೋನಾಚಿ (Fibonacci) ಎಂಬ ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ, ಲಿಯೋನಾಡೋ ಪಿಸಾನೋ ಬೊನಾಚಿ ಅವನ ಪೂರ್ಣ ಹೆಸರು. ಸುಮಾರು ಕ್ರಿ.ಶ. ೧೧೭೦ರಲ್ಲಿ ಜನಿಸಿದ ಈತ ಪ್ರಾಚೀನ ಹಿಂದು-ಅರೇಬಿಕ್ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ, ಯುರೋಪಿನಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಜನಪ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿದ್ದ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಗಣಿತ ಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ಆತನ ಹೆಸರು ಅಜರಾಮರವಾಗಿದೆ. ತಾನು ಆಸಕ್ತಿಯಿಂದ ಕಂಡುಕೊಂಡ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ‘ಲಿಬರ್ ಅಪಾಚೆ’ (Liber Apache) ಅಂದರೆ, ಇಟಾಲಿಯನ್ ಬಾಷೆಯಲ್ಲಿ ‘ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪುಸ್ತಕ’ ಎಂಬ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ದಾಖಲಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಆತನ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ಸ್ಮರಿಸಿ, ೧೯ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಫಿಬೋನಾಚಿಯ ಪ್ರತಿಮೆಯೊಂದನ್ನು ಪೀಸಾದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಲಿಬರ್ ಅಪಾಚಿ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಫಿಬೋನಾಚಿ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತ ವಿಧಾನವನ್ನು ‘ಮೋಡಸ್ ಇಂಡೋರಮ್’(Modus Indorum) ಎಂಬ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಸೊನ್ನೆ(೦) ಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಒಂಭತ್ತರ(೯)ರ ವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಹಾಗೂ ಅವುಗಳ ಸ್ಥಾನ ಮೌಲ್ಯದ (place value) ಔಚಿತ್ಯವನ್ನು ಇದರಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಜೊತೆಗೆ, ಭಿನ್ನ ರಾಶಿ, ಲ್ಯಾಟ್ಟೀಸ್ ನ ಗುಣಾಕಾರ, ತೂಕ ಅಳತೆಗಳ ಪರಿವರ್ತನೆ, ಬಡ್ಡಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮುಂತಾದ ಗಣಿತದ ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಈ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಫಿಬೋನಾಚಿ ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದಾನೆ.
ನಮ್ಮ ಅನೇಕ ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರಂಥಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಸಂಖ್ಯಾ ಅನುಕ್ರಮಣಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಉಲ್ಲೇಖಗಳಿವೆ. ಕ್ರಿ.ಪೂ. ೨೦೦ ರಲ್ಲಿಯೇ ಪಿಂಗಳ ಎಂಬ ಗಣಿತಜ್ಞ ಇಂಥ ಸರಣಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಕ್ರಿ.ಶ.೭೦೦ರಲ್ಲಿ ವೀರಹಂಕ ಎಂಬ ಗಣಿತಜ್ಞ, ೧೧೩೫ ಲ್ಲಿ ಗೋಪಾಲ ಎಂಬ ಗಣಿತಜ್ಞ ೧೧೫೦ರಲ್ಲಿ ಹೇಮಚಂದ್ರ ಎಂಬ ಗಣಿತಜ್ಞ ಇಂತಹ ಸರಣಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ವಿವರಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ.

ಈ ಸರಳ ಲೆಕ್ಕವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ :

೧+೧ = ೨                                ೨೧+೩೪ = ೫೫

  ೧+೨ = ೩                                ೩೪+೫೫ = ೮೯

    ೨+೩ = ೫                                ೫೫+೮೯ = ೧೪೪

      ೩+೫ = ೮                                ೮೯+೧೪೪ + ೨೩೩

        ೫+೮ = ೧೩                              ೧೪೪+೨೩೩ = ೩೭೭

          ೮+೧೩ = ೨೧                            ೨೩೩+೩೭೭ = ೬೧೦

             ೧೩+೨೧ = ೩೪                             ೩೭೭+೬೧೦ = ೯೮೭……

ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನ ಮೂರನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಹೀಗೇ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿಕೊAಡು ಹೋಗಬಹುದು. ಇದರಲ್ಲಿ, ,,,,,,೧೩,೨೧,೩೪,………….ಈ ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯನ್ನು “ಫಿಬೋನಾಚಿ  ಸಂಖ್ಯಾ ಅನುಕ್ರಮ” ಎನ್ನಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಫಿಬೋನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣಗಳನ್ನೂ ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ೧ ಆಗಿರುತ್ತದೆ !

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, , ೧೩. ೨೧  ಇದರಲ್ಲಿ ೮ ಘಿ ೧೩ = ೧೬೮, ೧೩ ಘಿ ೧೩ = ೧೬೯,   ೧೬೯ - ೧೬೮ = ೧

ಹಾಗೆಯೇ, ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಕು ಅನುಕ್ರಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದ ನಡುವುನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೂ ಸಹ ೧ ಆಗಿರುತ್ತದೆ !

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,, ೧೩, ೨೧, ೩೪ ಇದರಲ್ಲಿ, ೮ ಘಿ ೩೪ = ೨೭೨೧೩ ಘಿ ೨೧ = ೨೭೩, ೨೭೩ - ೨೭೨ = ೧

ಅಚ್ಚರಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಅಲ್ಲವೇ?

ಹಾಗಾದರೆ, ಫಿಬೋನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯಾ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೂ ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತಕ್ಕೂ ಇರುವ ಸಂಬಂಧವೇನು ?

ಈ ಸಂಖ್ಯಾ ಅನುಕ್ರಮಣಿಕೆಯ ಒಂದೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೂ ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತಾ ಹೋಗೋಣ.

೧/೧ = ೧ ಮೌಲ್ಯ  φ ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ

೨/೧ = ೨ ಮೌಲ್ಯ φ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು

೩/೨ = ೧.೫ ಮೌಲ್ಯ φ ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ

೫/೩ = ೧.೬೬ ಮೌಲ್ಯ φ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು

೧೩/೮ = ೧.೬೨೫

೨೧/.೧೩ = ೧.೬೧೯

೩೪/೨೧ = ೧.೬೧೭೬

ಹೀಗೆ, ಒಂದು φ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಆದರೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಹೆಚ್ಚು ಆಗುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಬರಬರುತ್ತಾ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವುನ ಅಂತರ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗಿ, ೧. ೬೧೮೦೩೩೯೮೮೭೪೯೯ ಎಂಬ ರ‍್ರಾಷನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಇದು ಸುಮಾರಾಗಿ ೧ : ೧.೬ ಅಥವಾ ೦. ೬೧೮ : ೧ ಎಂಬ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೇ “ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತ “ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಯಾವುದೇ ರಚನೆಯ ಪರಿಮಾಣ ೧. ೧೬೧೮ ಇದ್ದಲ್ಲಿ ಅದು ಉತ್ತಮ ಎಂಬುದು ನಿಸರ್ಗವೇ ಮಾಡಿಕೊಂಡ ನಿಯಮ !

ಅದರಂತೆ, ನಿಸರ್ಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಾಣುವ ಬಹುತೇಕ ಸಸ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಹಾಗು ಪ್ರಾಣಿಗಳ ದೇಹದ ಭಾಗಗಳ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ ಮಾನವ ದೇಹದ ವಿವಿಧ ಭಾಗಗಳ ರಚನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆಯೂ ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ ! ಈ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಲೆ, ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪ ಮತ್ತು ಸಂಗೀತದಂಥ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

ಈ ಸುವರ್ಣ ಅನುಪಾತಕ್ಕೂ ನಿಸರ್ಗದಲ್ಲಿರುವ ಜೀವಿಗಳಿಗೂ ಇರುವ ಅಚ್ಚರಿಯ ನಂಟನ್ನು ಕೆಲವು ಕುತೂಹಲಕರ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮುಂದಿನ ಸಂಚಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಯತ್ನ ಮಾಡೋಣ. 

44 comments:

  1. It is really informative. Thank you very much Dr adiga sir.

    ReplyDelete
  2. ನಿಸರ್ಗವನ್ನು ಆಸ್ವಾದಿಸುತ್ತಾ ಹೋದಂತೆ ಮನುಷ್ಯನಿಗೆ ಸಿಕ್ಕ ರುದ್ರರಮಣೀಯ ಒಳನೋಟಗಳು ಬದುಕನ್ನು ಎಲ್ಲಿಗೆ ತಂದು ನಿಲ್ಲಿಸಿದೆ!! ಗಣಿತ - ವಿಜ್ಞಾನಗಳು ನಿಸರ್ಗದ ತೊಟ್ಟಿಲಲ್ಲಿ ಅದೆಷ್ಟು ಹೇರಳ ! ಹೊಸ ಚಿಂತನೆಯನ್ನು ಹುಟ್ಟು ಹಾಕಿದ್ದೀರಿ ಸರ್.‌ ಧನ್ಯವಾದಗಳು

    ReplyDelete
  3. Nice Article, very much informative ��

    ReplyDelete
  4. Replies
    1. ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಶ್ರೀನಿವಾಸ್ ರೆಡ್ಡಿ.

      Delete
  5. Very impressive article sir Thank you for sharing

    ReplyDelete
    Replies
    1. ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ನಾಗವೇಣಿ ಮೇಡಮ್

      Delete
  6. ಮನೆ ಮಂಥನಕ್ಕೆ ಒರೆ ಹಚ್ಚುವ ಲೇಖನ. ಘನವೆತ್ತ ಭಾಷಾ ಸೊಗಡು

    ReplyDelete
  7. ಮನೆ ಅಲ್ಲ ಮನಮಂಥನ
    ಕ್ಷಮೆ ಇರಲಿ

    ReplyDelete
  8. Nice and very informative article sir

    ReplyDelete
  9. Very much interesting and informative sir. This makes us to understand the wonders of nature and helps to appreciate nature.

    ReplyDelete
    Replies
    1. ನಿಸರ್ಗ ಅಚ್ಚರಿಗಳ ಗೂಡು !

      Delete
  10. Very interesting to know the interlinkage between mathematics the plant and animal system. Very useful information sir.

    ReplyDelete
    Replies
    1. ಧನ್ಯವಾದಗಳು,ಜಗದೀಶ್ವರಿ ಮೇಡಮ್.

      Delete

  11. golden ratio is something new for me that kindles the fire of curiosity. very interesting.

    ReplyDelete
  12. ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಲೇಖನ. ಕುತೂಹಲಕರ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಮುಂದಿನ ಸಂಚಿಕೆಯ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ...

    ReplyDelete
    Replies
    1. ಖಂಡಿತಾ ನಿರಾಶೆ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ !

      Delete
  13. ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ಲೇಖನ
    ಧನ್ಯವಾದಗಳು ಸರ್

    ReplyDelete
  14. ತುಂಬಾ ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ ಸರ್

    ReplyDelete
  15. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  16. Nice information sir. Very good article

    ReplyDelete
  17. Very good synergy of maths and nature. Good knowledge is pervading daily through your well collection and articulation.Thank you sir

    ReplyDelete
    Replies
    1. ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಡಾ.ರಾಮಚಂದ್ರ

      Delete
  18. Very informative article. Team is doing excellent work under the able guidance by Bslakrishna Adiga Sir.

    ReplyDelete
  19. ಸೂಪರ್ ಸರ್, ನಿಮ ನಿಸರ್ಗ ವರ್ಣನೆ ನಿಸರ್ಗ ರಚನೆಗಿಂತ ಅಧ್ಬುತ👌

    ReplyDelete
  20. Very good informative article sir, Thank you Sir

    ReplyDelete

  21. ನಿಸರ್ಗ ಪ್ರೇಮದ ಕಥಾ ಪಯಣವು ಬಿಡಿಸಿದ ಗಣಿತದ ಹಂದರ ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ಸ್ವಾರಸ್ಯಕಾರಿ ಅನುಕ್ರಮಣಿಕೆಯ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ನಾನು ಮಾಡಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವಂತಾಯಿತು ಧನ್ಯವಾದಗಳು

    ReplyDelete