ವನವಿಹಾರ!

 ವನವಿಹಾರ!

ಬರಹ: ವಿಜಯಕುಮಾರ್‌ ಹುತ್ತನಹಳ್ಳಿ. 

ಸಹ ಶಿಕ್ಷಕರು. 

ಸ.ಪ್ರೌ.ಶಾಲೆ. ಕಾವಲ್‌ ಭೈರಸಂದ್ರ.

ಬೆಂಗಳೂರು ಉತ್ತರ ವಲಯ – 3

ವಿದ್ಯಾ: ಹೇ ವಿನಯ್‌, ಗಣಿತ ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ ಮಾಡಿ ಬೇಜಾರಾಗ್ತಿದೆ, ಬಾರೋ ಹೀಗೇ ಪಾರ್ಕ್‌ ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸುತ್ತು ಹಾಕ್ಕೊಂಡು ಬರೋಣ ಹಾಯಾಗಿ.

ವಿನಯ್‌: ಓ! ಹೌದಾ? ಹಾಗಾದರೆ ಗಣಿತ ಪಾರ್ಕ್‌ ಅಂದರೆ ಗಣಿತವನದಲ್ಲೇ ಸುತ್ತಾಡಿಕೊಂಡು ಬರೋಣ ಬಾ.

ವಿದ್ಯಾ: ಏನು? ಗಣಿತವನಾನ? ಹಾಗಂದರೆ ಏನೋ? ಎಲ್ಲಿರುತ್ತೋ ಅಂತಹ ವನ? ನಾನು ಗಣಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ ಬೋರಾಯ್ತು ಪಾರ್ಕ್‌ ಗೆ ಹೋಗಿ ಸುತ್ತಾಡಿಕೊಂಡು ಬರೋಣ ಅಂದರೆ, ಅಲ್ಲೂ ಗಣಿತ ಅಂತಿಯಲ್ಲಾ?

ವಿನಯ್‌: ವಿದ್ಯಾ, ಗಣಿತದ ಕೆಲವು ಅಮೂರ್ತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅರ್ಥವಾಗದೆ ಇದ್ದಾಗ ಕಲಿಯುವವರಿಗೆ ಬೇಸರ ಬರುವುದು ಸಹಜ. ಗಣಿತದ ಬಗ್ಗೆ ಭಯವೂ ಆಗುತ್ತೆ. ಇವನ್ನೆಲ್ಲಾ ಹೋಗಲಾಡಿಸಬೇಕು, ಗಣಿತದ ಸಾರ ಸುಲಭವಾಗಿ, ಆಕರ್ಷಕವಾಗಿ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸಿಗುವಂತಾಗಬೇಕು, ನಲಿ ನಲಿಯುತ್ತಾ ಗಣಿತವನ್ನು ಕಲಿಯಬೇಕು ಅಂತಾನೆ ಗಣಿತವನ ನಿರ್ಮಾಣ ಆಗಿರೋದು.

ವಿದ್ಯಾ: ಓ! ಹೌದಾ? ನೀನು ಹೇಳ್ತಿರೋದು ಕೇಳಿದರೆ ಬಹಳ ಕುತೂಹಲ ಉಂಟಾಗ್ತಿದೆ. ಎಲ್ಲಿದೆ ಅದು? ಯಾರು ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದು ಅದನ್ನ ಹೇಳೋ ಬೇಗ.

ವಿನಯ್‌: ಹ್ಞಾಂ! ಹೇಳ್ತೀನಿ, ಹೇಳ್ತೀನಿ, ಇಡೀ ಭಾರತದಲ್ಲೇ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ, ಅದ್ವಿತೀಯವಾದ ಈ ಗಣಿತವನ ಇರೋದು ಕುಪ್ಪಂನಲ್ಲಿ.  ಕರ್ನಾಟಕ , ಆಂಧ್ರ ಮತ್ತು ತಮಿಳುನಾಡು ಈ ಮೂರೂ ರಾಜ್ಯಗಳ  ಗಡಿಗಳನ್ನ ಹಂಚಿಕೊಂಡ, ನಗರದ ಗದ್ದಲಗಳಿಲ್ಲದ, ಸುಂದರ ಪ್ರಕೃತಿಯ ನಡುವೆ ಇರುವ ಅಗಸ್ತ್ಯ‍ ಫೌಂಡೇಶನ್‌ ನ ವಿಶಾಲ ಆವರಣದಲ್ಲೇ ಇರೋದು ನಮ್ಮ ಈ “ರಾಮಾನುಜನ್ ಗಣಿತವನ”.

ವಿದ್ಯಾ: ಹೌದಾ! ವಿನಯ್‌ ಎಷ್ಟು ಚನ್ನಾಗಿರುತ್ತಲ್ವ ಹಾಗಾದರೆ? ಯಾರೋ ಇದನ್ನ ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದು?

ವಿನಯ್‌: ವಿದ್ಯಾ ನಿನಗೆ ವಿ.ಎಸ್.ಎಸ್‌ ಶಾಸ್ತ್ರಿ ಸರ್‌ ಗೊತ್ತಲ್ವ ?

ವಿದ್ಯಾ: ಓ! ಗೊತ್ತು ಯೂಟ್ಯೂಬ್‌ ನಲ್ಲಿ ಓರಿಗಾಮಿ, ಗಣಿತ, ಶಿಕ್ಷಣ ಈ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅವರ ವಿಡಿಯೋಗಳನ್ನ ನೋಡಿದ್ದೀನಿ. ಬಹಳ ವಿಶಿಷ್ಠವಾಗಿವೆ.

ವಿನಯ್‌:  ಹ್ಞಾಂ, ಸರಿಯಾಗಿ ಹೇಳಿದೆ ಅವರ ಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಕಾರವೇ ಈ ಗಣಿತ ವನ. ಅವರು ಓರಿಗಾಮಿ, ಗಣಿತ ಅಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲದೆ, ಪೇಪರ್‌ ಕತ್ತರಿಸಿ ಕೀಟ ಮುಂತಾದ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನ ಮಾಡುವ ಕಿರಿಗಾಮಿ, ಬೋನ್ಸಾಯ್‌, ಪಳೆಯುಳಿಕೆ ಸಂಗ್ರಹ, ಪುಸ್ತಕ ಸಂಗ್ರಹ, ಗಣಿತ ವ್ಯಂಗ್ಯಚಿತ್ರ ರಚನೆ, ಚಿತ್ರಕಲೆ ಹೀಗೆ ಹಲವಾರು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಧನೆ ಮಾಡಿದ ಮಹನೀಯರು. ತಮ್ಮ ತೀವ್ರ ಅನಾರೋಗ್ಯದ ನಡುವೆಯೂ ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಶ್ರಮಿಸಿದ್ದಾರೆ.

ವಿದ್ಯಾ:  ಅಯ್ಯೋ ಹೌದಾ? ಅಬ್ಬಾ! ನಿಜಕ್ಕೂ ಆನಂದ, ಆಶ್ಚರ್ಯ ಅಂತಹವರ ಬಗ್ಗೆ ಕೇಳೋದು. ಈಗ ಅವರ ಗಣಿತವನದ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳೋ ಪ್ಲೀಸ್.‌

ವಿನಯ್‌: ಹೇಳೋದೇನು? ಅಲ್ಲಿಗೇ ಕರ್ಕೊಂಡು ಹೋಗ್ತಿದ್ದೀನಲ್ಲ. ಬಾ ನೀನೇ ನೋಡು .ಅಲ್ಲೇ ವಿವರಿಸ್ತೀನಿ.

                    *******************************

ವಿನಯ್:‌ ಇದೋ ರಾಮಾನುನ್‌ ಗಣಿತವನದ ಪ್ರವೇಶದ್ವಾರಕ್ಕೆ ಬಂದಿದ್ದೀವಿ.

ವಿದ್ಯಾ: ವಿನಯ್‌ ಏನಿದು ಪ್ರವೇಶದ್ವಾರ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕಾಣ್ತಿದೆ?

ಪೈ ಗೇಟ್‌  (ಪೈ ದ್ವಾರ)

ವಿನಯ್‌: ಹೌದು ವಿದ್ಯಾ ಇದು ಪೈ ( Π ) ದ್ವಾರ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾದ ಪೈ ನ ಸಂಕೇತವನ್ನೇ ದ್ವಾರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಇಂತಹ ಇಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ದ್ವಾರ ಏಷ್ಯಾದಲ್ಲೇ ಇಲ್ಲವಂತೆ. ಹಾಗೇ ಮುಂದೆ ಬಾ ಪೈನ ಬೆಲೆಯನ್ನು 1000 ಸ್ಥಾನದವರೆಗೂ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ ದಾರಿಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಗಮನಿಸು. ಪೈಗೂ ವೃತ್ತಕ್ಕೂ ಇರುವ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಮುಂದೆ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಠಮಾದರಿ ಮೂಲಕ ನೋಡುವಿಯಂತೆ ಮುಂದೆ ನಡೆ.

ವಿದ್ಯಾ, ನಿನಗೆ ಗೊತ್ತಾ? ರೋಜರ್-ರಾಮಾನುಜನ್‌ ಸೀರೀಸ್‌ ಬಳಸಿ ರಚಿಸಬಹುದಾದ ಇಕೋಸಾ ಹೆಡ್ರಾನ್‌ ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವೇ ನಮ್ಮ ರಾಮಾನುಜನ್ ಗಣಿತವನದ ಲೋಗೋ. ಇದು ರಾಮಾನುಜನ್‌ ರ ಮೇಧಾಶಕ್ತಿಗೆ ನಾವು ಸಲ್ಲಿಸುವ ಗೌರವ. 

ವಿದ್ಯಾ: ಹೋ! ವಿನಯ್‌, ಬಾ ಇಲ್ಲಿ, ಬಾ ಇಲ್ಲಿ. ಈ ಸೈಕಲ್ ನೋಡು ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಇದರ ನಾಲ್ಕೂ ಚಕ್ರಗಳೂ ಚೌಕಾಕಾರದಲ್ಲಿವೆ. ಹೇ! ಇದು ಮುಂದೆ ಹೋಗೋದು ಹೇಗೋ?

ವಿನಯ್‌:  ಅದೇ ವಿಶೇಷ ವಿದ್ಯಾ. ಚಕ್ರ ಚೌಕಾಕಾರವೇ ಆದರೂ ನೆಲ ನೋಡು ಅದು ಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡ್‌ ಎಂಬ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳಿಂದ ಆಗಿದೆ. ಅದೇ ಈ ಗಣಿತ ಮಾದರಿಯ ವಿಶೇಷ.

ಚೌಕಾಕಾರದ ಚಕ್ರಗಳ ಸೈಕಲ್

ಚೌಕದ ಬಾಹುವಿನ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಈ ಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡ್‌ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದ ಒಂದೇ ಆಗಿದೆ. ಸೈಕಲ್‌ ಇದರ ಮೇಲೆ ಹೋಗುತ್ತೆ. ಅಗೋ ನೋಡು 4 ಜನ ಹುಡುಗರು ಕೂತು ತುಳೀತಿದ್ದಾರೆ ಸೈಕಲ್‌ ಸರಾಗವಾಗಿ ಚಲಿಸ್ತಿದೆ.

ವಿದ್ಯಾ:  ಹೌದು. ʼಆಡಿಸಿ ನೋಡು, ಬೀಳಿಸಿ ನೋಡು ಉರುಳಿ ಹೋಗದು………...ʼ

ವಿನಯ್‌: ಏನು ವಿದ್ಯಾ ಬೇಸರ ಕಳೀತಾ? ಹಾಡು ಗುನುಗುತ್ತಿದ್ದೀಯಲ್ಲ.

ವಿದ್ಯಾ:  ಹೌದು ಕಣೋ ಈ ಗಣಿತ ವನ ಜ್ಞಾನದ ಗಣಿ. ತಿಳಿದಷ್ಟೂ ಇದೆ. “ನೋಡಿ ತಿಳಿ, ಮಾಡಿ ಕಲಿ”, ಅನ್ನೋ ಹಾಗೆ ನಾವೇ ಮಾಡಿ ಕಲಿಯೋದೇ ಮಜಾ. ಹಾಡು ಯಾಕೆ ಅಂದ್ರೆ, ನೋಡಿಲ್ಲಿ ಪಕ್ಷಿ ಹೇಗೆ ಕೇವಲ ಕೊಕ್ಕಿನ ಮೇಲೆ ನಿಂತಿದೆ. ಆಡಿಸಿದರೂ ಬೀಳಲ್ಲ. ಅದಕ್ಕೇ ನೆನಪಾಯ್ತು. 

ಆಡಿಸಿ ನೋಡು ಬೀಳಿಸಿ ನೋಡು ಉರುಳಿ ಹೋಗದು. ಬೀಳದ ಪಕ್ಷಿ

ವಿನಯ್‌: ಹೋ ಹಾಗಾ?  ಇದೂ ಕೂಡ ಒಂದು ಗಣಿತದ ಮಾದರಿ.

ವಿದ್ಯಾ:  ಹೋಗೋ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಗಣಿತ ಅಂತೀಯ.

ವಿನಯ್:‌ ಇಲ್ಲಾ ಕಣೆ ನೋಡಿಲ್ಲಿ, ಹಕ್ಕಿಯ ಚಾಚಿದ ರೆಕ್ಕೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಬಾಲದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜ ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತಿವೆ. ಈ ತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರ,  ಒಳಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಲಂಬಕೇಂದ್ರ ಇವೆಲ್ಲಾ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವುದೇ ವಿಶೇಷ. ಆ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾದ ಪಕ್ಷಿ ಬೀಳೋದೇ ಇಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರ ಸರಿದೂಗಿದೆ. ಗೊತ್ತಾಯ್ತಾ? 

ಹಾಗೆ ಇಲ್ಲಿ ಬಾ, ಇಲ್ಲಿ ನೋಡು ವಿದ್ಯಾ ಈ ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಏನು ಅಂತ ಅರ್ಥ ಆಯ್ತಾ?  ಎಲ್ಲಾದರೂ ನೋಡಿದ್ಯಾ ಇಂಥದ್ದನ್ನು.

ಸಂಖ್ಯಾಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳು

ವಿದ್ಯಾ: ಹೋ ಗೊತ್ತಾಯ್ತು. ಇದು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆ, ಆದರೆ ಏರಿಕೆ ಮತ್ತು ಇಳಿಕೆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಡಿಮೆ ಅಂತ ಗೊತ್ತಾಗುತ್ತೆ. ಆಡುತ್ತಾ ಆಡುತ್ತಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನ ಮಾಡಬಹುದು.

ವಿನಯ್:‌ ಹೌದು ಸರಿಯಾಗಿ ಹೇಳಿದೆ. ಅಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗೊಂದಲ (-4)(-3)=+12 ಏಕೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೂ ಇಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವಿದೆ. ಕೆಲವು ಸೂಚನೆಗಳನ್ನ ಪಾಲಿಸಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೇ ಇಲ್ಲಿ ತಿಳಿಯಬಹುದು.

ವಿದ್ಯಾ: ಗೊತ್ತಾಯ್ತು ವಿನಯ್‌ ತುಂಬಾ ಚನ್ನಾಗಿವೆ ಸಂಖ್ಯಾಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳು.

ವಿದ್ಯಾ:  ಏನಿದು ಇಷ್ಟೊಂದು ಮಾಯಾಚೌಕಗಳನ್ನ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದ್ದಾರೆ ಇಲ್ಲಿ.

ವಿನಯ್:‌ ಹೌದು. ಇಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಮಾಯಾಚೌಕಗಳಿವೆ. ನೋಡು ಈ ಬಂಡೆ ಮೇಲೆ ಸುವರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆದಿರೋ ಇದು “ಮೆಲಾಂಕೊಲಿ ಮಾಯಾಚೌಕ”. ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಕತೆಯೇ ಇದೆ.

ಹಾಗೆ ನಾರಾಯಣಭಟ್ಟನ “ಭದ್ರ ಗಣಿತಂ” ಗ್ರಂಥದಿಂದ ಆಯ್ದ ಮಾಯಾ ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನೂ ನೆಲದ ಮೇಲೆ ರಂಗೋಲಿಯ ಹಾಗೆ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ ನೋಡು. ಇಂತಹ ಮಾಯಾಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿ ಇಡೀ ಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ಇದೊಂದೇ ಇರುವುದಂತೆ. ಅಬ್ಬಾ! ಎಂಥ ಅದ್ಭುತ ಅಲ್ವಾ?

ಮಾಯಾಷಡ್ಭುಜ

ವಿದ್ಯಾ: ಹೇ! ವಿನಯ ಓಡಿ ಬಾ ಇಲ್ಲಿ ನೋಡು ಪ್ಲೇಟೋನ ಘನಾಕೃತಿಗಳು, ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡವಿವೆ ನೋಡು ಒಳಗೆಲ್ಲಾ ಒಡಾಡಬಹುದು. ಹುಡುಗರು ದಾರಗಳನ್ನ ಹಿಡಿದು ಏನೋ ಮಾಡ್ತಿದ್ದಾರೆ ಒಳಗೆ. ಬಾ ನಾವು ಹೋಗಿ ನೋಡೋಣ.

ವಿನಯ್: ಸರಿ ನಡಿ ನೋಡೋಣ. ಇದು ಮೊದಲನೇ ಘನಾಕೃತಿ, ಇದರ ಹೆಸರು ಗೊತ್ತಾ

ನಿನಗೆ?

ವಿದ್ಯಾ: ಹೋ, ಗೊತ್ತು. ಡೋಡೆಕಾ ಹೆಡ್ರಾನ್‌ (ದ್ವಾದಶಮುಖ ಘನ) ಅಲ್ವಾ?

ವಿನಯ್:‌ ಸರಿಯಾಗಿ ಹೇಳಿದೆ, ಇದರ ಒಳ ಹೊರಗೆ ಎಲ್ಲಾ ನೋಡಿ ಅಂಚುಗಳ(E),

ಮುಖಗಳ(F)ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳ(V) ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು ಅಂತ ಎಣಿಸಿ ತಿಳಿಯಬಹುದು.ಹಾಗೆ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತಜ್ಞ ಆಯ್ಲರನ ಸೂತ್ರ F+V = E+2 ಇದನ್ನೂ ತಾಳೆ ನೋಡಬಹುದು.

ದ್ವಾದಶಮುಖ ಘನ

ವಿದ್ಯಾ: ಮತ್ತೆ ಆ ಹುಡುಗರು ದಾರ ಕಟ್ಟಿ ನೋಡುತ್ತಿರುವುದೇನು?

ವಿನಯ್:‌ ಅದೊಂದು ಆಸಕ್ತಿಕರ ವಿಷಯ ವಿದ್ಯಾ, ಘನಾಕೃತಿಗಳ ಅಂಚುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಎದುರಿನ ಅಂಚುಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಿದರೆ ಮುಂದಿನ ಪ್ಲೇಟೋವಿನ ಘನಾಕೃತಿ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತೆ. ಇದು ಪ್ರತಿ ಘನಾಕೃತಿಯಲ್ಲೂ ನಿಜ. ಹುಡುಗರು ಅದನ್ನೇ ಮಾಡುತ್ತಿರುವುದು.

ಪ್ಲೇಟೋವಿನ ಘನಾಕೃತಿಗಳು

ವಿನಯ್:‌ ಓ! ಹೌದಾ? ಇದು ನನಗೆ ಗೊತ್ತೇ ಇರಲಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ನಾವು ಇದನ್ನು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡೋದು ಕಷ್ಟ. ಇಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಸೊಗಸಾಗಿ ಮಾಡಿ ಕಲಿಯಬಹುದಲ್ವ. ತುಂಬಾ ಖುಷಿಯಾಯ್ತಪ್ಪ ನನಗೆ.

ವಿನಯ್:‌ ಸರಿ. ಮನೆಗೆ ಹೋಗೋಣ ಹಾಗಾದರೆ?

ವಿದ್ಯಾ: ಬೇಡ,ಬೇಡ ಇನ್ನೂ ಏನೇನಿದೆಯೋ ಎಲ್ಲಾ ನೋಡೋಣ ಬಾ.

ವಿನಯ್:‌ ಸರಿ ಹಾಗಾದರೆ, ಈ ಕಡೆ ಬಾ.

ವಿದ್ಯಾ: ಇದೇನೋ? ಒಳ್ಳೆ ಬುದ್ಧ ಧ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಕೂತಂತೆ ಇದೆ ಆಕೃತಿ.

ವಿನಯ್:‌ ಆಹಾ! ಜಾಣೆ ಕಣೆ ನೀನು, ಎಷ್ಟು ಚನ್ನಾಗಿ ಗ್ರಹಿಸಿದ್ದೀಯ. ಇದು ನಮಗೆಲ್ಲಾ ತಿಳಿದಿರೋ (a+b)² = a² + 2ab + b² ನಿತ್ಯಸಮೀಕರಣದ ರೂಪ.

( a + b )² = a² + b² + 2ab ಧ್ಯಾನಸ್ಥ ಬುದ್ಧನಂತೆ

ವಿದ್ಯಾ: ಅದು ಹೇಗೋ, ಆ ನಿತ್ಯಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖಾಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ತೋರಿಸಿದರೆ  ಚೌಕಾಕಾರ ಬರಬೇಕಲ್ಲ?

ವಿನಯ್:‌ ಹೌದು ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಅದನ್ನೇ ಬೇರೆ ರೀತಿ ಜೋಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಗ್ರೀಕರು ಬುದ್ಧನ ವಿಗ್ರಹ ರಚನೆ ಮಾಡುವಾಗ ಇದೇ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಬಳಸಿದರಂತೆ. ಇಲ್ಲಿ (a+b)² ನ್ನೇ ಒಂದೇ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವುಳ್ಳ ಒಟ್ಟು ಒಂಭತ್ತು ಸಣ್ಣ ಚೌಕಗಳಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಚಿತ್ರ ನೋಡು, ತಿಳಿಯುತ್ತೆ. ಬುದ್ಧನಿಗೆ ಒಂದು ನಮನ ಸಲ್ಲಿಸಿ ಮುಂದೆ ಹೋಗೋಣ ಬಾ.

ವಿದ್ಯಾ, ನೀನು ನೋಡಲೇಬೇಕಾದ ಅತ್ಯದ್ಭುತ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿ ಇಲ್ಲಿದೆ ಬಾ. ಇದೇ 4 ಆಯಾಮದ ಆಕೃತಿಯನ್ನು 3 ಆಯಾಮಕ್ಕೆ project ಮಾಡಿರುವ ಮಾದರಿ. ಇದು ಘನದೊಳಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಣ್ಣ ಘನವಿದ್ದಂತೆ ಇದೆ.

ವಿದ್ಯಾ : ಏನು 4 ಆಯಾಮದ ಆಕೃತಿಯೇ ? ನನಗೆ ಉದ್ದ , ಅಗಲ, ಎತ್ತರಗಳ 3 ಆಯಾಮಗಳ ಆಕೃತಿ ಗೊತ್ತು. ಇದ್ಯಾವುದು 4 ಆಯಾಮಗಳ ಆಕೃತಿ?

4 ಆಯಾಮದ ಆಕೃತಿಯ projection

ವಿನಯ್:‌ ಇದೆ ವಿದ್ಯಾ. ಈಗ ನೋಡು 3 ಆಮಾಮದ ಘನದ ನೆರಳು 2 ಆಯಾಮದ  ವಿಸ್ತೀರ್ಣವಾಗಿ ಬೀಳುತ್ತೆ (Projection) ಹಾಗೆ 2 ಆಯಾಮದ ಹಲಗೆಯನ್ನು 1 ಆಯಾಮದ ಸರಳರೇಖೆಯಾಗಿ project ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು 1 ಆಯಾಮದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಆಯಾಮವೇ ಇಲ್ಲದ ಬಿಂದುವಾಗಿ project ಮಾಡಬಹುದುಲ್ವ? ಹಾಗೆ ಇದು 4 ಆಯಾಮದ ಘನದ projection ಮಧ್ಯಾಹ್ನ 12 ಗಂಟೆಗೆ ಈ ಮಾದರಿಯ ನೆರಳು ಷಡ್ಭುಜವೊಂದರೊಳಗೆ ಇನ್ನೊಂದು ಷಡ್ಭುಜ ಇರುವಂತೆ ಮೂಡುತ್ತದೆ. ಎಷ್ಟು ಸೋಜಿಗ ಅಲ್ವಾ?

ವಿನಯ್:‌ ಇದು ನೋಡು Power of Power ಎಂಬ ಮಾದರಿ, ಚದುರಂಗದ 64 ಮನೆಗಳ ಮೇಲೆ 2⁰=1 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ 2¹=1, 2²=4….. ಹೀಗೆ ಏರಿಕೆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅಕ್ಕಿಕಾಳುಗಳನ್ನ ಬಹುಮಾನವಾಗಿ ಕೇಳಿದೆ ಕತೆ ಗೊತ್ತಲ್ಲ ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಮಾದರಿ. ನೀನು ಈಗ ಸ್ವಲ್ಪ ಪವರ್‌ ಫುಲ್‌ ಆದೆ ಅಲ್ವಾ? ಸರಿ ಗಣಿತವನದಿಂದ ಸೌರಮಂಡಲದಲ್ಲಿ ಸುತ್ತಾಡಿ ಬರೋಣ ಬಾ.

ವಿದ್ಯಾ: ಏನು? ಸೌರಮಂಡಲವೇ? ಸದ್ಯ ಚಂದ್ರನಿಗೆ ಹೋಗಿ ಬಂದದ್ದೇ ದೊಡ್ಡ ಸಾಧನೆ,  ಮಂಗಳನ ಅಂಗಳಕ್ಕೆ ಇನ್ನೂ ಕಾಲಿಟ್ಟಿಲ್ಲ. ಸೌರಮಂಡಲ ಸುತ್ತಾಡೋದು ತಮಾಷೆನಾ?

ವಿನಯ್:‌ ಅಯ್ಯೋ ! ನಾನು ಹೇಳಿದದ್ದು ನಿಜವಾದ ಸೌರಮಂಡಲವಲ್ಲ. ಇಲ್ಲೇ ಗಣಿತವನದಲ್ಲಿ ಮೊದಲೇ ಇದ್ದ ನಕ್ಷತ್ರವೀಕ್ಷಣಾಲಯವನ್ನು ಸೂರ್ಯನೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಸೌರವ್ಯೂಹದಲ್ಲಿನ ಗ್ರಹಗಳ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ದೂರಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲಿ ಗ್ರಹಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಷ್ಠಾಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅದನ್ನು ನೋಡಲು ಇಡೀ ಉದ್ಯಾನವನ ಸುತ್ತಬೇಕು ಇದರಿಂದ ನಮಗೆ ಸೌರವ್ಯೂಹದ ವೈಶಾಲ್ಯ ಅರಿವಾಗುತ್ತೆ.

ವಿದ್ಯಾ: ಅಬ್ಬಾ! ಗಣಿತ ನಿಜಕ್ಕೂ ಅಗಾಧ, ಅಪಾರ, ಈ ಹುಲ್ಲು ಹಾಸಿನ ಮೇಲೆ ಕುಳಿತು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಅರೇ ಇದೇನಿದು ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತದೊಳಗೆ ಕುಳಿತಿದ್ದೇವೆ ನಾವು.

ವಿನಯ್:‌ ಹ್ಹ, ಹ್ಹ, ಹ್ಹ….. ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೆಲ್ಲೂ ಗಣಿತ ವಿದ್ಯಾ. ಪೈ ದ್ವಾರದಲ್ಲೇ ಹೇಳಿದ್ದೆನಲ್ಲ , ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಒಳಗೊಂದು ಮಾದರಿ ಇದೆ ಅಂತ, ಅದೇ ಇದು. ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್‌ ಪೈ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಸುತ್ತಳತೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಸದ ಅನುಪಾತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ್ದನ್ನು ತೋರುವ ಮಾದರಿ ಇದಾಗಿದೆ. ಅಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ. ವಿದ್ಯಾ ಈ ಗಣಿತವನದಲ್ಲಿ, 2⁰ = 1 ಏಕೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವ, ಸಮಾನಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವ,ಮಾದರಿಗಳಿವೆ. ವಿಡಿಯೋ ಪ್ರದರ್ಶನ, ಓರಿಗಾಮಿ ಮಾದರಿಗಳ ಪ್ರದರ್ಶನ ಇನ್ನೂ ಅನೇಕಾನೇಕ ಆಕರ್ಷಕ ಸಂಗತಿಗಳಿವೆ. ವನದ ಮಧ್ಯೆ ಇಕೋಸಾಹೆಡ್ರಾನ್‌ ಮಾದರಿ ಮೇಲೆ ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮನುಜನ್‌ ರ ಪುತ್ಥಳಿ ಇದೆ, ನಮಸ್ಕರಿಸಿ ತೆರಳೋಣ ನಡಿ.

ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್‌ ರ ಪ್ರತಿಮೆ ಮುಂದೆ ಶ್ರೀಯುತ ವಿ.ಎಸ್.ಎಸ್.ಶಾಸ್ತ್ರಿ ಯವರು

ಇಂದಿಗೆ ಇಷ್ಟು ಸಾಕು ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗೆ ವಿಡಿಯೋ ಲಿಂಕ್ ಗಳನ್ನು ಕೊಡುತ್ತೇನೆ ನೋಡು. https://www.youtube.com/watch?v=OKoLr5ZaRI8&t=2s

ಧನ್ಯವಾದಗಳು:

Agasthya Foundation

Gyanome Foundation

International Institute of Information Technology, Bengaluru.

Sri V.S.S.Shasthri. Mathematics Communicator