ಮುಗಿಯದ ಪೈಯಾನ …

 ಮುಗಿಯದ ಪೈಯಾನ …

ಲೇಖಕರು: ಸುರೇಶ ಕೃಷ್ಣಮೂರ್ತಿ

ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್‌ ಕಾಲದ ಟ್ಯಾಬ್ಲೆಟ್‌ ಮೇಲೆ πನ ಗುರುತು

     ಪೈ ಅಥವಾ π ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವ ಗ್ರೀಕ್‌ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಹದಿನಾರನೆಯ ಅಕ್ಷರ.  ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಮಗೆಲ್ಲರಿಗೂ ಗೊತ್ತಿರುವಂತೆಯೆ ವೃತ್ತದ ಪರಧಿಗೂ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯಾಸಕ್ಕೂ ಇರುವ ಅನುಪಾತ(c/d)ವನ್ನು π ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ π ಯು  ಕ್ಕೆ ಸಮನಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ನಮ್ಮ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿಸಲು πನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹತ್ತಿರ ಹತ್ತಿರ  ಎಂದು

ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದಲ್ಲದೇ πನ ಬೆಲೆಯನ್ನು 333/106⁠, 355/113⁠, 52163/16604⁠, 103993/33102⁠, ⁠⁠⁠⁠104348/33215⁠, ⁠245850922/78256779⁠ … ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅನುಪಾತವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಷ್ಟು ಅದು πನ ಬೆಲೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಮೀಪವಾಗುತ್ತದೆ ಆದರೂ ಅದು ನಿಖರವಾದ ಬೆಲೆಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಶತಮಾನಗಳ ಪ್ರಯತ್ನದ ಹೊರೆತಾಗಿಯೂ π ನ ನಿಖರವಾದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಲು ಇಂದಿಗೂ ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ πಯು ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದೇ ಆಗಿದೆ.

     ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. p ಮತ್ತು q ಗಳು ಎರಡು ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಆಗಿದ್ದಾಗ ಮತ್ತು qನ ಬೆಲೆಯು ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮನಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ p/q  ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ದ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.    ಇದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸುವುದಾದರೆ, 5 ನ್ನು 2ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಭಾಗಾಕಾರವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶೇಷ ಸೊನ್ನೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಭಾಗಲಬ್ದವು 2.5 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು p ಮತ್ತು qಗಳ ಅನುಪಾತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಇವು ಭಾಗಲಬ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಹಾಗೆಯೆ ಮತ್ತೊಂದು ಬಗೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದಾದರೆ ಉದಾಹರಣೆಗೆ 10 ನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಶೇ಼ಷ ಸೊನ್ನೆ ಬರುವುದಿಲ್ಲವಾದರೂ ಭಾಗಲಬ್ದವು 3.333333.... ಬರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು 3.   ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಹಾಗೆಯೆ ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಾದರೆ 123 ನ್ನು 9 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಹೊರಟರೆ ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆ ಮುಗಿಯುವುದಿಲ್ಲ ಶೇಷ ಸೊನ್ನೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಭಾಗಲಬ್ದವು 13.6666666666666 ಆಗುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಭಾಗಲಬ್ದದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ದಶಮಾಂಶ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಇಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ ಸಹ ಭಾಗಲಬ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ಪರಿಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟಾರೆ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ p ಮತ್ತು q ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು p/q   ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಭಾಗಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡು ಶೇಷ ಸೊನ್ನೆ ಬಂದರೆ ಅಥವಾ ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳದಿದ್ದರೂ ಭಾಗಲಬ್ದವು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ದಶಮಾಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅಂತಹಗಳನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

      d=7 ಸೆಂಮೀ ವ್ಯಾಸವಿರುವ ವೃತ್ತದ ಪರಧಿಯ ಉದ್ದ MN=22 ಸೆಂಮೀ. 7 ರಿಂದ 22 ನ್ನು ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬ್ದವು 3.1428571428571428571 (ಇದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ 3.  ಎಂದು ಬರೆದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ 22/7 ಸಹ ಭಾಗಲಬ್ದ ಸಂಖ್ಯೆ.  p/qನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗದ ಉದಾಹರಣೆಗೆ  ನಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಭಾಗಲಬ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ( = 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694…) ಈ ಅಭಾಗಲಬ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗ್ರೀಸಿನ ಹಿಪ್ಪಾಕಸನು ಕಂಡುಹಿಡಿದನು. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅವನಿಗೆ ದೊರೆತ ಬಹುಮಾನವೇನು ಗೊತ್ತೆ? ಅವನ ತಲೆದಂಡ!    ಹೀಗೆ ಇಂತಹ  ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಖರವಾದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗದು. πನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಯತ್ನವೂ ಸಹ ಅಂತೆಯೆ ಒಂದು ಮುಗಿಯದ ಯಾನವಾಗಿದೆ. 2021 ರಲ್ಲಿ 64 ಕೋರಿನ ಸೂಪರ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು πನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸುವಲ್ಲಿ ಸ್ವಿಸ್ಜರ್ಲೆಂಡಿನ ಗ್ರಿಸನ್ಸನ ಅನ್ವಯಿಕ ಭೌತವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ವಿಶ್ವ ದಾಖಲೆಯನ್ನು ಬರೆದರು. ಇದಕ್ಕಾಗಿ Chudnovsky ಅಲ್ಗಾರಿದಂ ಇರುವ y-cruncher  ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು. ಗೂಗಲ್‌ ಕ್ಲೌಡ್‌ ಮೂಲಕ 14 ಅಕ್ಟೋಬರ್‌ 2021 ರಂದು ಆರಂಭಿಸಿ 21 ಮಾರ್ಚಿ 2022 ರವರೆಗೆ ಒಟ್ಟು 157 ದಿನಗಳು, 23 ಗಂಟೆಗಳು, 31 ನಿಮಿಷಗಳು ಮತ್ತು 7.651 ಸೆಂಕೆಂಡುಗಳ ಕಾಲ ಪ್ರೊಸೆಸ್‌ ಮಾಡಿ, πನ ಬೆಲೆಯನ್ನು 100 ಟ್ರಿಲಿಯನ್ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನದವರೆಗೆ ಲೆಕ್ಕಿಸುವಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾದರು! ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾದ ಕಂಪ್ಯೂಟರಿನಲ್ಲಿದ್ದ ಪ್ರೋಸಸರಿನ ವೇಗ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ 100 ಗಿಗಾಬೈಟುಗಳು, RAMನ ಮೆಮೊರಿ 864 ಜಿಬಿ ಮತ್ತು ಸಂಸ್ಕರಣೆಗೆ ಬಳಕೆಯಾದ ಒಟ್ಟು ಮೆಮೊರಿ 515 ಟಿಬಿ ಎಂದರೆ ಲಕ್ಕಾಚಾರದ ಅಗಾಧತೆಯನ್ನು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಹೀಗೆ ಲೆಕ್ಕಿಸಿದ 100 ಟ್ರಿಲಿಯನ್ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿರುವ ನೂರು ಅಂಕೆಗಳು ಇಂತಿವೆ. 4658718895 1242883556 4671544483 9873493812 1206904813 2656719174 5255431487 2142102057 7077336434 3095295560. ಇದಕ್ಕೂ ಮೊದಲು ಇದೇ ತಂಡವು 6.2 ಟ್ರಿಲಿಯನ್ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನದವರೆಗೆ πನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಲಕ್ಕಿಸುವಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿತ್ತು.

ಗೌರಿಬಿದನೂರು ತಾಲ್ಲೂಕ್‌ ಹೊಸೂರಿನ ಬಳಿಯ ಹೊಸಕೋಟೆಯಲ್ಲಿರುವ ಡಾ ಎಚ್‌ ನರಸಿಂಹಯ್ಯ ವಿಜ್ಞಾನ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿರುವ ನೂರಾರು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ πನ ಬೆಲೆ ಸೂಚಿಸುವ ಪ್ರದರ್ಶಿಕೆ.

    ನಿಖರವಾದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು πಯನ್ನು ಕಟ್ಟಿಹಾಕುವ ಮಾನವ ಪ್ರಯತ್ನ ಇಂದು ನಿನ್ನೆಯದಲ್ಲ. ನಾಲ್ಕು ಸಾವಿರ ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆಯೆ ಈಜಿಪ್ಷಿಯನ್ನರು 3.16 ಎಂದು ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು 3.125 ಎಂದು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಕ್ರಿಪೂ 800 ರ ಶತಪಥ ಬ್ರಾಹ್ಮಣದಲ್ಲಿ πನ ಬೆಲೆಯನ್ನು 25/8=3.125 ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದೆ. ಸುಮಾರು ಇದೇ ಕಾಲದ ಶುಲ್ಬ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಇದರ ಪ್ರಸ್ತಾವನೆ ಇದೆ. ಕ್ರಿಪೂ 250 ರ ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್ πನ ಬೆಲೆಯನ್ನು 3.140845... ಮತ್ತು 3.142857... ನಡುವೆ ಇದೆ ಎಂದು ಕಂಡು ಕೊಂಡಿದ್ದನು.  ಕ್ರಿಪೂ 150 ರ ಟಾಲೆಮೆಯು ಇದನ್ನು 3.141666.. ಎಂದು ತಿದ್ದಿದನು.  ಹದಿನಾಲ್ಕನೆಯ ಶತಮಾನದ ಕೇರಳದ ಮಾಧವ ಸಂಘಗ್ರಾಮನು ಇದರ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಲು ಮೊಟ್ಟಮೊದಲಿಗೆ ಮಹಾ ಜ್ಞಾನಯಾನ ಪ್ರಕಾರ ಎನ್ನುವ ಅನಂತಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿದನು. ಗ್ರಿಗೊರಿ ‍ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 1673 ರಲ್ಲಿ ಜರ್ಮನಿಯ ಲೆಬ್ನಿಜನು πನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅನಂತ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಸಿದನು.

 

ಈ ಅನಂತ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಮಾಧವ-ಲೆಬ್ನಿಜ್‌ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.  

ಮಾನವ ಜಗತ್ತಿಗೆ πನ ಪರಿಚಯವಾಗಿ ಸುಮಾರು 4000 ವರ್ಷಗಳೆ ಕಳೆದಿವೆ. ಅಷ್ಟು ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿನ ಸೆಕೆಂಡುಗಳಷ್ಟು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ πನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಿದರೂ ಇಂದಿನ ವಿಜ್ಞಾನ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ ಯುಗಕ್ಕೆ ನಿಖರತೆ ಸಾಲದೆ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂದರೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವಲ್ಲವೇ? 

     πನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಯತ್ನದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಸ, ಆರ್ಯಭಟ, ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ, ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ, ನ್ಯೂಟನ್‌, ಆಯ್ಲರ್‌, ರಾಮಾನುಜಂ ಮುಂತಾದ ಗಣಿತದ ದಿಗ್ಗಜರು ಕೂಡ ತಮ್ಮನ್ನ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದರು. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ ಮೂಲಕ πನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಯತ್ನ ಮೊಟ್ಟಮೊದಲಿಗೆ 1950 ರಲ್ಲಿ ನಡೆಯಿತಾದರೂ ಅದು ಸೂಪರ್‌ ಕಂಪ್ಯೂಟರುಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದ ನಂತರ ವೇಗವನ್ನು ಪಡೆಯಿತೆನ್ನಬಹುದು. ಈಚೀಚೆಗೆ ಎಂದರೆ ಮೇ 2024 ರಲ್ಲಿ ಜೋರ್ಡಾನ್‌ ರಾನಸ್‌, ಕೆವಿನ ಒಬ್ರಾನ್‌ ಮತ್ತು ಬ್ರೈಯಾನ್‌ ಬೀಲರ್‌ ಈ ಮೂವರ ತಂಡ ಅದೇ y-cruncher   ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 105 ಟ್ರಿಲಿಯನ್‌ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳವರೆಗೆ πನ ಬೆಲೆಯನ್ನು 75 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಹೊಸ ದಾಖಲೆ ಸೃಷ್ಟಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅವರು ಬಳಸಿದ ಸೂಪರ್‌ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ ನ  ಮೆಮೊರಿ 960 ಟಿಬಿ! ಹಾಗೂ ಈ ಸಂರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ AMD EPYC 9754 ಮಾದರಿಯ ಒಂದು ಜೊತೆ ಪ್ರೋಸೆಸರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ 128 ಕೋರ್‌, 256 ಧಾರೆ, ಕ್ಲಾಕ್‌ ಸ್ಪೀಡ್‌ 3.1 ಗೀಗಾ ಹರ್ಟ್ಜ್‌, RAM 1.5 ಟಿಬಿ !

ಪರಮ ಅಂಕ(Transcendental number) ಎಂದು ಕರೆಯುವ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. ವಾಸ್ತವ  ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹಗುಣಕಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮವಲ್ಲದ ಒಂದು ಬಹುಪದ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದಲ್ಲಿ  ಅವುಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗದು, ಏಕೆಂದರೆ ಪರಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು  ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.  πಯು ಪರಮ ಅಂಕವು ಹೌದು! ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ ಅಭಾಗಲಬ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಆಗಿರುವುದು ಒಂದು ವಿಶೇಷ.

ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸನ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮಾಡಬಹುದು.

 

Sin=  

Sin=  

Sin=

Sin  = 2a

ಇದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಒಂದು ಬಾಹು GF = a+a =2a

ಒಂದು ಬಾಹುವಿನ ಉದ್ದ 2a = Sin̤  ……(1)

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ n ಬಾಹುಗಳಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದ

2  =  n Sin………(2)

2a ಅಳತೆಯ n ಬಾಹುಗಳಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ n ಕೋನಗಳನ್ನುಂಟು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಆ ಎಲ್ಲಾ n ಕೋನಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತ 360 .  ಆದ್ದರಿಂದ a ಉದ್ದವಿರುವ ಬಾಹುವು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಉಂಟು ಮಾಡುವ ಪ್ರತಿಕೋನದ ಅಳತೆ

   

ಆದ್ದರಿಂದ a ಉಂಟುಮಾಡುವ ಕೋನ  =  ……..(3)

n ಬಾಹುಗಳಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕ್ರತಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ = n sin

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ 6 ಬಾಹುಗಳಿವೆ n=6 ಆದ್ದರಿಂದ ಅವೆಲ್ಲದವುಗಳ ಸುತ್ತಳತೆ 

6 sin  = 6 sin 30 = 6() = 3.0

ಇದು ಒಂದು ಸೆಂಮೀ ವ್ಯಾಸವಿರುವ ವೃತ್ತದಿಂದ ಪರಿವೃತ್ತಗೊಂಡಿರುವ ನಿಯತಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸುತ್ತಳತೆಯಾಗಿದೆ. ನಾವು ವೃತ್ತದೊಳಗಿರುವ ನಿಯತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬಾಹುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತಾ ಹೋದಂತೆ ಅದು ಹೆಚ್ಚೂ ಕಡಿಮೆ ವೃತ್ತದ ಆಕಾರವನ್ನು ತಳೆಯುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ.  ಉದಾಹರಣೆಗೆ 45 ಬಾಹುಗಳಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಅದು ಹೆಚ್ಚು ಕಮ್ಮಿ ವೃತ್ತದಂತೆಯೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ.

ಈ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕ್ರತಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ = n sin ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ

ಸುತ್ತಳತೆ = 45 sin  = 45 sin 4 = 45(0.0698) =3.141

ಇದು ವೃತ್ತದಂತೆಯೆ ಕಾಣುವ 45 ಬಾಹುಗಳಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ. ಇದನ್ನು ನಾವು ವೃತದ ಸುತ್ತಳತೆ c  ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದರೆ ಮತ್ತು ಈ ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸ 1 ಸೆಂಮೀ ಎಂದು ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ  π=c/d ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ π = 3.141/1 = 3.141 ಹೀಗೆ ನಿಯತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬಾಹುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತಾ ಹೋದಂತೆ ಅದು ಹೆಚ್ಚು ವೃತ್ತಾಕಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆ ಮತ್ತು  ವ್ಯಾಸಗಳಿಗಿರುವ ಅನುಪಾತವು πನ ಬೆಲೆಗೆ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿ  ನಿಯತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗೆ ಅಂತಸ್ಥವಾದ ವೃತ್ತವನ್ನೆಳೆದು  tan ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದಾಗಿದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ  ಈ ಕ್ರಮವಿಧಾನದಿಂದ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸನು πನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ತೋರಿಸಿಕೊಟ್ಟನು.  ನಂತರ ಬಂದಂತಹ ಗಣಿತಜ್ಞರು  ಅನಂತ ‍ಶ್ರೇಣಿ ವಿಧಾನ, ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವಲ್ಲದೆ ಮತ್ತಿತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ πನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ತೋರಿಸಿಕೊಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ.

    ಅಷ್ಟಾಗಿ ನಿಖರತೆಗೆ ಅತಿ ಸಮೀಪದ π ನ ಬೆಲೆಯ ಅಗತ್ಯವಾದರೂ ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಉದ್ಭವಿಸಬಹುದು. ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಜಗತ್ತನಲ್ಲಿ ರಚನೆಗಳು, ಯಂತ್ರೋಪಕರಣಗಳು ಅಥವಾ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ಸ್ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸುವಾಗ, ನಿಖರತೆಯ ಕೊರತೆಯಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ದೋಷವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಣೆಯ ಮೇಲೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಬೀರಬಹುದು. ಸೇತುವೆ ಅಥವಾ ಗಗನಚುಂಬಿ ಕಟ್ಟಡವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಂತಹ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಯೋಜನೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಚಲನದ ಪರಿಣಾಮವು ರಚನೆಯ ಸುರಕ್ಷತೆಗೆ ಧಕ್ಕೆ ತರಬಹುದು.  ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್, ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್‌ಗಳು, ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆ ಮಾದರಿಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಹಲವು ಮುಂದುವರಿದ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳು πಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.  ಅಂತಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜಿನ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ನಿಖರತೆಯ ಬೆಲೆ ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಅನಾಪೇಕ್ಷಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಅಂತೆಯೇ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಮಾಹಿತಿ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, πನ ನಿಖರತೆಯು ಕಡ್ಡಾಯವಾಗುತ್ತದೆ.  ಸುದೀರ್ಘವಾದ ಈ ಲೇಖನ, ಗಣಿತ ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಶುಷ್ಕವೆನಿಸಿ ಬೋರ್‌ ಅನಿಸುತ್ತಿದೆಯೇ? π ನ ದಶಮಾಂಶದ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಸ್ವರಗಳಿಗೆ ಆರೋಪಿಸಿ ಪಿಯಾನೋ ನುಡಿಸಿದರೆ ಕೇಳಲು ಹೇಗಿರುತ್ತದೆ? ವೀಡಿಯೋಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಲಿಂಕನ್ನು ಬಳಸಿ, ಕೇಳಿ ಆನಂದಿಸಿ.

https://www.youtube.com/watch?v=OMq9he-5HUU&t=28s&ab_channel=aSongScout