ಕುತೂಹಲದ ಗಣಿತ
✍️ ಸಂಗಮೇಶ ವಿ. ಬುರ್ಲಿ
ನಿವೃತ್ತ ಮುಖ್ಯೋಪಾಧ್ಯಾಯರು,
ವಿಜಯಪುರ
ಮೊ: 9060060300
Email: svb1966bjp@gmail.com
ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಶೇಷ ವಿಧಾನ
ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಬಗೆಹರಿಸಲು ನಾವು ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಸರಿಯಾದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ವೇಗವಾಗಿ, ಸರಿಯಾಗಿ ಮತ್ತು ಸುಂದರವಾಗಿ ಬಗೆಹರಿಸಬಹುದು. ಗಣಿತದ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಬೆಳೆಸಲು ಇಂತಹ ಚಿಕ್ಕ-ಚಿಕ್ಕ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತ.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 1 ರಿಂದ 25 ರವರೆಗೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ನಾವು ಸುಲಭವಾಗಿ ನೆನಪಿಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
1² = 1
2² = 4
3² = 9
10² = 100
11² = 121
15² = 225
20² = 400
25² = 625
ಆದರೆ 28, 37, 68 ಮುಂತಾದ ಎರಡು ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ತಕ್ಷಣ ಹೇಳುವುದು ಕೆಲವರಿಗೆ ಕಷ್ಟವಾಗಬಹುದು. ಇಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಉತ್ತರ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸರಳ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ವರ್ಗವನ್ನು ವೇಗವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸುಲಭ ವಿಧಾನವೂ ಇದೆ.
📜 ಸ್ವಲ್ಪ ಇತಿಹಾಸ
ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳು ಬಹಳ ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿವೆ. ಭಾರತದ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಮಹತ್ವದ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ
Aryabhata (ಕ್ರಿ.ಶ. 476) ತಮ್ಮ ಗಣಿತ ಗ್ರಂಥಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಘನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿವರಣೆ ನೀಡಿದ್ದರು.
Brahmagupta (ಕ್ರಿ.ಶ. 598) ಅವರು ತಮ್ಮ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಕೃತಿ Brahmasphutasiddhanta ಯಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ.
ನಂತರ Bhaskara II ತಮ್ಮ ಗಣಿತ ಕೃತಿ Lilavati ಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತ ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮಾಡುವ ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ.
ಇಂತಹ ಸಂಶೋಧನೆಗಳಿಂದಲೇ ನಂತರ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳು ರೂಪುಗೊಂಡವು. ನಾವು ಈಗ ಬಳಸುವ
((a+b)^2) ಎಂಬ ಸೂತ್ರವೂ ಇದೇ ಪರಂಪರೆಯ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ.
ಸೂತ್ರದ ಆಧಾರ
ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸೂತ್ರ: (a+b) ² =a²+2ab+b²
ಇಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಿಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 1: 11² ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
11 ಅನ್ನು 1 ಮತ್ತು 1 ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಅಂದರೆ a = 1, b = 1
11² = 1² | (2 × 1 × 1) | 1²
= 1 | 2 | 1
= 121
ಅಂದರೆ 11² = 121
ಉದಾಹರಣೆ 2: 15² ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
ಇಲ್ಲಿ a = 1 ಮತ್ತು b = 5
15² = 1² | (2 × 1 × 5) | 5²
= 1 | 10 | 25
25 ನಲ್ಲಿ 5 ಅನ್ನು ಏಕ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇಟ್ಟು, 2 ಅನ್ನು 10 ಗೆ ಸೇರಿಸಿದರೆ 12 ಬರುತ್ತದೆ.
12 ನಲ್ಲಿ 2 ಅನ್ನು ದಶಕ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇಟ್ಟು, 1 ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೇರಿಸಿದರೆ 2 ಬರುತ್ತದೆ.
ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರ:
2 | 2 | 5
ಅಂದರೆ 15² = 225
ಉದಾಹರಣೆ 3: 68² ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
ಇಲ್ಲಿ a = 6 ಮತ್ತು b = 8
68² = 6² | (2 × 6 × 8) | 8²
= 36 | 96 | 64
64 ನಲ್ಲಿ 4 ಅನ್ನು ಏಕ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇಟ್ಟು, 6 ಅನ್ನು 96 ಗೆ ಸೇರಿಸಿದರೆ 102 ಬರುತ್ತದೆ.
102 ನಲ್ಲಿ 2 ಅನ್ನು ದಶಕ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇಟ್ಟು, 10 ಅನ್ನು 36 ಗೆ ಸೇರಿಸಿದರೆ 46 ಬರುತ್ತದೆ.
ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶ:
46 | 2 | 4
ಅಂದರೆ 68² = 4624
✏️ ನೀವು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ
ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಇದೇ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:
12²
24²
37²
46²
73²
ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ 12 ರಿಂದ 99 ರವರೆಗೆ ಇರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ವೇಗವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿದರೆ ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಗಳು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಆಸಕ್ತಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ.
